el ,mismo documendo pero en grande enlace de abajo https://docs.google.com/file/d/0B-oYS27GC7ZKbXNPQnl1UlJCR1U/edit
martes, 10 de septiembre de 2013
Resolucion de desigualdades que incluyan valor absoluto
Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.
Una desigualdad en la variable x se llama cuadrática cuando la podemos escribir en la forma ax2+bx+c>0 (0 ≥), en donde a, b y c son constantes con a≠ 0 Para resolver esta desigualdad, es decir encontrar las X que satisfacen esta desigualdad, escribimos el lado izquierdo como el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizamos y examinamos el signo de los factores en los intervalos definidos por las raíces de los factores.
Valor absoluto y sus propiedades
El valor absoluto de un número es su valor numérico sin tener en cuenta su signo ya sea este positivo (+) o negativo (-) como por ejemplo 3 es el valor absoluto para 3 y para -3.
Formalmente el valor absoluto de todo numero real esta definido por:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Ahora mencionaremos algunas de las propiedades del valor absoluto:
1º Propiedad multiplicativa
Nos dice que “El valor absoluto de un producto es igual a el producto de los valores absolutos
2º Preservación de la division (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Nos dice que “El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero”
3º Propiedad de la simetria
Nos dice que “El valor absoluto del opuesto de un numero es igual a el valor absoluto del numero”
4º Definicion positiva
Nos dice que “El unico numero que su valor es 0 es el mismo 0”
5º No negatividad
Nos dice que “El valor absoluto de cualquier numero nunca va a dar negativo”
6º Identidad de Indescernibles
Nos dice que “Cuando el valor absoluto de una adicion de dos numeros es 0 entonces o bien y son el mismo numero o son opuestos uno del otro”.
7º Propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una suma de dos numero es menor o igual a la sumas de los valores absolutos”.
8º Equivalente a la propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de los valores absolutos”.
9º Desigualdad triangular
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es menor o igual a el valor absoluto de la resta de el primer numero menos el tercero mas el valor absoluto de la resta de el tercero menos el segundo”
Formalmente el valor absoluto de todo numero real esta definido por:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Ahora mencionaremos algunas de las propiedades del valor absoluto:
1º Propiedad multiplicativa
Nos dice que “El valor absoluto de un producto es igual a el producto de los valores absolutos
2º Preservación de la division (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Nos dice que “El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero”
3º Propiedad de la simetria
Nos dice que “El valor absoluto del opuesto de un numero es igual a el valor absoluto del numero”
4º Definicion positiva
Nos dice que “El unico numero que su valor es 0 es el mismo 0”
5º No negatividad
Nos dice que “El valor absoluto de cualquier numero nunca va a dar negativo”
6º Identidad de Indescernibles
Nos dice que “Cuando el valor absoluto de una adicion de dos numeros es 0 entonces o bien y son el mismo numero o son opuestos uno del otro”.
7º Propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una suma de dos numero es menor o igual a la sumas de los valores absolutos”.
8º Equivalente a la propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de los valores absolutos”.
9º Desigualdad triangular
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es menor o igual a el valor absoluto de la resta de el primer numero menos el tercero mas el valor absoluto de la resta de el tercero menos el segundo”
Resolucion de desigualdades de primer grado con una incognita y de desigualdades cuadraticas con una incognita
Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las desigualdades en las que la mayor potencia del pronumeral o variable no es mayor que 1.
Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.
La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.
Por ejemplo: la ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución, mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los números mayores a 4.
Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o igual que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden ser obtenidas.
Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que debe ser satisfecha de forma simultánea. Por tanto, una solución del sistema de desigualdades lineales significa una solución que satisfará a todas las desigualdades del sistema, es decir, una solución que es común a todas las desigualdades del sistema. Del mismo modo, el grupo de todas las soluciones de la desigualdad se denomina conjunto de soluciones.
Cuando se solucionan desigualdades de primer grado, algunas propiedades pueden ser muy útiles:
1. En caso que, x < y e y < z, entonces x < z,
2. Si, x < y, entonces x + z < y + z y x - z < y – z
Esto es, el curso de una desigualdad permanece igual si, de ambos lados, un número idéntico es sumado o restado.
3. Si x < y, entonces: xz < yz cuando z es positivo
xz > yz cuando z es negativo
Es decir la dirección de la desigualdad sigue siendo igual si un número idéntico positivo es sumado en sus dos lados. Sin embargo, la dirección cambia, si el mismo número negativo se añade en ambos lados de la desigualdad.
4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a.
Se dice que las desigualdades en la misma dirección se pueden resumir.
5. Si x < y e ambos x e y son del mismo signo, entonces > . La dirección de la desigualdad cambia cuando los recíprocos de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes tienen el mismo signo.
Una comprensión más profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de un ejemplo:
Suponga que la ecuación a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9
Por razones de simplificación combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6 1- 4x < 9
Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada anteriormente, obtenemos
6 - 1 −4x < 9 −1 5 −4x < 8
Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones de las desigualdades cambiarán, es decir
−5/4 x > −2
Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [−5/4, −2).
Intervalos y su representacion mediante desigualdades
Una desigualdad es de una forma: 10 + 3 es mayor que 6. Se le representa por: Desigualdad: 10 + 3 > 6
Esta desigualdad se transforma en inecuación, cuando se introduce una incognita: Inecuacion: 10 + x > 6
En la recta numérica existe una relación de orden.
Cuando tenemos dos puntos de la recta numérica A y B, se pueden dar una de tres alternativas:
A es mayor que B A > B
A es igual a B A = B
A es menor que B A < B
Entonses por lo siguiente:
A > B v A=B
Destacamos que a < b es equivalente a b>a y así con otras expresiones, que se pueden “dar vuelta”.
Intervalos en los Reales (IR)
La Expresión: {x IR / a < x < b} se conoce como Intervalo, representa al conjunto de todos los números reales que
están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este caso x no puede ser ni “a” ni “b”.
están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este caso x no puede ser ni “a” ni “b”.
Tipos de Intervalos:
Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, sin incluirlos, se simboliza por: ( )
Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza po: [ ]
Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [ )
Intervalo Semiabierto por Izquierda: ( ]
Representación GRAFICA de intervalos:
[-3,6] -3< x < 6
(4,9) 4 < x < 9
(1,+ ∞) 1 < x < + ∞
AXIOMA DEL SUPREMO
De los axiomas de los reales, éste es el que nos faltaba. A diferencia de los demás axiomas que tiene que ver más con propiedades algebraicas aplicables a diversos campos, éste es realmente característico de los reales.
¿Qué establece?
 Además:  |  Es decir:  |
Su importancia
1) Este axioma es característico de los números reales. Los racionales por ejemplo, no lo cumplen:
1) Este axioma es característico de los números reales. Los racionales por ejemplo, no lo cumplen:
Sea
 |  , pues al menos  .Además, por ejemplo, 2 es una cota superior de  .Sin embargo, no existe  . |
Es decir, no existe un racional que sea la mínima de todas las cotas superiores.
| |
Observe que:
Todos los racionales que son cotas superiores de son mayores que  ,pero a la vez existen racionales tan cerca de como se quiera. | |
2) Este axioma es necesario para establecer la existencia de los números irracionales y por consecuencia para completar los números reales. En análisis se llegan a construir como límites de sucesiones de racionales.
3) Con este axioma es posible atribuir a los números reales la propiedad de continuidad, es decir, de poder establecer una correspondencia biunívoca entre los reales y los puntos de una recta. Un punto de la recta corresponde a un racional o a un irracional.
3) Con este axioma es posible atribuir a los números reales la propiedad de continuidad, es decir, de poder establecer una correspondencia biunívoca entre los reales y los puntos de una recta. Un punto de la recta corresponde a un racional o a un irracional.
4) De una manera coloquial, se puede decir que este axioma garantiza que los reales llenan toda la recta. No obstante que entre cada dos racionales existe una infinidad de ellos, siempre es posible encontrar una infinidad (de mayor cardinalidad) de puntos que no corresponden a números racionales, esos precisamente, serán irracionales.
5) En temas de Continuidad en Cálculo 1, es de suma importancia para demostrar teoremas de gran trascendencia y similarmente para construir el concepto de función integrable, entre otros que podríamos mencionar.
Dos aclaraciones
1) Proposición. Si un conjunto posee un supremo, éste es único.Dem:
Sean
y 
supremos de (acotado superiormente).
Por el inciso b) de la definición tenemos que:
y 
, entonces 
.
1) Proposición. Si un conjunto
posee un supremo, éste es único.Dem:Sean
y supremos de (acotado superiormente). Por el inciso b) de la definición tenemos que:
y , entonces .
2) Se pueden formular definiciones similares para un conjunto pero acotado inferiormente y en este caso se llamaría 
(ínfimo de )
pero acotado inferiormente y en este caso se llamaría (ínfimo de )
ENSIDAD
Significa que el conjunto Q (los Racionales), entre cada numero hay muchos numeros más en franciones, decimales, etc.
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